Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết hai tam giác đồng dạng và các cách chứng minh đưa ra dưới đây.Bạn đang xem: Các cách chứng minh tam giác đồng dạngBạn đang xem: Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng


*

ctvnguthan.vn155 2 năm trước 69739 lượt xem | Toán Học 8

Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết hai tam giác đồng dạng và các cách chứng minh đưa ra dưới đây.

Bạn đang xem: Cách chứng minh tam giác đồng dạng

Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng


*

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :

– Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

– Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\

\

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

– Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\

\

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.3. Định lí 3: ( góc)Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \

c) AD2 = AB.AC – BD.DC


*

Giải

a)∆ADB và ∆CDI , ta có :

\ (gt)

\ (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , ta có :

\ (∆ADB ~ ∆CDI)

\ (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \ (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC


*

Giải.

Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có :

1. AC2 = CH.BC :

\

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

\

\ cùng phụ \ 

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> \

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : \ (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.

Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

Bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC


*

a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

\(BD là đường cao)

\(EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\

=> FG // BC (định lí đảo talet)

Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán:

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Xem thêm: Chào Mừng Đảng Cộng Sản Việt Nam Beat Mp3, Tác Giả Bài Hát Chào Mừng Đảng Cộng Sản Việt Nam

Giải

a)xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

\(gt)

 \(đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

\(∆HBE ~ ∆HCD)

=>\

\ (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \ (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> \ tại M.

=>\

mặt khác : \

=>\ (2)

từ (1) và (2) : \

hay : \

c) cmtt câu b, ta được : \ (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=>\

mà : \ (∆HED ~ ∆HBC)

=> \

mà : \

\(cmt)

=>\

hay : \

=> \

Bài viết gợi ý: 1. Giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học- lớp 8 2. Cách giải các dạng phương trình 3. Các dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 4. Cách chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức luôn đúng 5. Dấu hiệu nhận biết các tứ giác đặc biệt 6. Cách tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức 7. So sánh hai số bằng phương pháp hằng đẳng thức Chuyên mục: Tổng hợp